스튜어트 정리 증명 3가지 코사인 법칙, 피타고라스 정리, 삼각함수의 덧셈정리

스튜어트 정리 증명 3가지

스튜어트 정리(Stewart's Theorem)는 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트가 삼각형의 기하학적 성질을 연구하며 도출한 중요한 정리입니다. 삼각형의 한 변을 따라 내부 점으로 이어지는 선분의 길이와 관련된 문제를 해결할 때 매우 유용하게 사용됩니다. 이 정리는 기하학적 문제의 해법을 제공하며, 수학적 직관을 키우는 데 도움을 줍니다. 정리의 수식은 다음과 같이 표현됩니다:

$$ m b^2 + n c^2 = (m + n)(mn + d^2) $$

여기서:

• $ m $과 $ n $은 삼각형의 변 $ BC $를 내부 점 $ D $에 의해 나눈 비율,
• $ b $와 $ c $는 $ AB $와 $ AC $의 길이,
• $ d $는 점 $ D $에서 $ A $까지의 거리입니다.

특히, $ m = n $일 경우 스튜어트 정리는 아폴로니우스 정리(Apollonius's Theorem)로 간단히 표현됩니다. 이는 중선 정리로 잘 알려져 있으며, 삼각형의 대칭성과 균형 잡힌 관계를 보여줍니다. 스튜어트 정리는 삼각형 기하학에서 널리 응용되며, 고급 수학 문제를 푸는 데 필수적인 도구로 자리 잡고 있습니다.

이번 글에서는 스튜어트 정리의 세 가지 증명 방식을 단계적으로 소개하고, 이 정리가 어떻게 수학적 문제를 해결하는 데 기여하는지 살펴보겠습니다. 더불어 관련 예시와 결론을 통해 정리의 실용성과 수학적 아름다움을 깊이 이해할 수 있기를 바랍니다.

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증명

2.1. 코사인 법칙을 이용한 증명

코사인 법칙은 삼각형의 변과 각 사이의 관계를 나타내는 중요한 수학적 도구입니다. 스튜어트 정리는 이를 활용하여 증명할 수 있습니다.

1. 삼각형 $ \triangle ABC $에서 $ D $를 $ BC $ 위의 한 점으로 설정합니다.
2. $ AD = d $, $ BD = m $, $ DC = n $으로 정의합니다.
3. 코사인 법칙을 각각 삼각형 $ \triangle ABD $와 $ \triangle ACD $에 적용합니다:
4. $$ b^2 = m^2 + d^2 - 2m d \cos \theta $$
   $$ c^2 = n^2 + d^2 - 2n d \cos \theta $$
5. 두 식을 $ m $과 $ n $으로 가중 평균한 후 정리하면 다음과 같이 스튜어트 정리의 일반형이 도출됩니다:
6. $$ m b^2 + n c^2 = (m + n)(mn + d^2) $$

이를 통해 코사인 법칙의 기하학적 적용이 스튜어트 정리를 구성하는 중요한 기반임을 알 수 있습니다.

2.2. 피타고라스 정리를 이용한 증명

피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립하지만, 보조선을 이용해 스튜어트 정리로 확장할 수 있습니다. 다음은 피타고라스 정리를 활용한 증명 과정입니다:

1. 점 $ D $에서 $ BC $에 수선을 내려 $ P $라고 명명합니다. 이로 인해 직각삼각형 두 개가 생성됩니다.
2. 각각의 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 적용하여 다음 관계를 도출합니다:여기서 $ h $는 $ D $에서 $ BC $에 내린 수선의 길이입니다.
3. $$ b^2 = h^2 + m^2 $$
   $$ c^2 = h^2 + n^2 $$
4. $ b^2 $와 $ c^2 $의 합을 $ m $과 $ n $으로 조합하고 정리하면 스튜어트 정리의 공식이 완성됩니다.

피타고라스 정리를 기반으로 한 증명은 직관적이며, 삼각형 내에서의 거리 관계를 명확히 보여줍니다.

2.3. 삼각함수의 덧셈정리를 활용한 증명

삼각함수의 덧셈정리는 각의 합에 대한 코사인이나 사인을 계산하는 데 유용합니다. 이를 통해 스튜어트 정리를 증명하는 방법은 다음과 같습니다:

1. 삼각형에서 $ \cos(\angle ABD + \angle ACD) $를 덧셈정리를 사용하여 전개합니다:
2. $$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $$
3. 이를 $ b^2 $와 $ c^2 $의 관계식에 대입하여 계산합니다.
4. $ m $과 $ n $의 비율을 고려하여 정리하면 스튜어트 정리의 일반식으로 귀결됩니다.

이 증명 방식은 삼각함수의 기하학적 성질을 활용하여 스튜어트 정리를 도출할 수 있는 또 다른 관점을 제공합니다.

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예시

문제:

삼각형 $ \triangle ABC $에서 $ BC = 10 $, $ AB = 8 $, $ AC = 6 $이며, $ D $는 $ BC $를 $ 3:2 $로 나누는 점입니다. $ AD $의 길이를 구하세요.

풀이:

1. $ m = 3 $, $ n = 2 $, $ b = 8 $, $ c = 6 $으로 설정합니다.
2. 스튜어트 정리 $$ m b^2 + n c^2 = (m + n)(mn + d^2) $$에 값을 대입합니다:
3. $$ 3(8^2) + 2(6^2) = (3 + 2)(3 \cdot 2 + d^2) $$
4. 이를 계산하면 다음과 같습니다:
5. $$ 192 + 72 = 5(6 + d^2) $$
   $$ 264 = 30 + 5d^2 $$
   $$ 5d^2 = 234 $$
   $$ d^2 = 46.8 $$
6. $ d = \sqrt{46.8} $를 계산하면 $ AD \approx 6.84 $입니다.

이 예시는 스튜어트 정리가 삼각형의 거리 관계를 계산하는 데 얼마나 효과적인지 보여줍니다.

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결론

스튜어트 정리는 삼각형의 기하학적 문제를 해결하는 데 있어 매우 강력한 도구입니다. 이를 활용하면 삼각형의 변과 내부 점 간의 관계를 효과적으로 이해하고 계산할 수 있습니다. 스튜어트 정리는 단순한 공식 그 이상으로, 기하학적 직관과 대칭성에 대한 통찰을 제공합니다.

이번 글에서는 스튜어트 정리의 정의, 세 가지 증명 방법, 그리고 구체적인 예시를 통해 정리를 다양한 방식으로 접근해 보았습니다. 이를 통해 정리가 지닌 수학적 아름다움과 실용성을 깊이 체감할 수 있기를 바랍니다.

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